Sind Zahlen Attribute?

von Gerhard GELBMANN



 

I.


Vom Berliner Philosophen Herbert Stachowiak stammt aus dem Jahre 1973 eine Auffassung des Modellbegriffes, die sich von der formal-semantischeni unterscheidet und "pragmatologische" genannt sei (diese lehnt die statement-view jener ab). Dieses Konzept sei als Attributionierung skizziert:ii

Gegeben seien das Original (der zu modellierende Gegenstand) O und (s)ein Modell M. Der Ausdruck "Modell", so meine Lesart, ist im weitesten Sinne als "Vorstellung" zu nehmen, die auch bloß rein mental oder in einem dem originalen Gegenstand (bzw. einer solchen Vorstellung) korrespondierenden Gegenstand existieren kann. "O" und "M" bezeichnen Klassen von Attributen,iii von welchen Unterklassen OPO und MEM gebildet werden, sodaß OP und ME einander eineindeutig gemäß F korrespondieren.  F bildet also gewisse Attribute von O unter Vernachlässigung (Präterition) anderer Attributeiv von O auf bestimmte Attribute von M ab, wobei einige (sog. "abundante") Attribute von M keine Funktionswerte von F sind.v Die Umsetzung einer solchen Attributionierung erfolgt innerhalb einer Theorie Th, wobei unter "Theorie" ein interessengeleiteter Prozeß verstanden ist, der sukzessive die erzeugten Modelle mit den jeweiligen originalen Gegenständen abgleicht.vi Was eine Theorie also vom Original modelliert, ist unter dem Blickpunkt der jeweiligen Interessen eine "Essenz" des Originals, die ihrerseits im Modell vergegenständlicht wird.-vii Soweit das Konzept.
 

II.


Was aber bezeichnet der Terminus "Attribut"?- Farben, Qualitäten, Eigenschaften, Relationen von Individuen, aber auch höherstufige Anwendungen dieser aufeinander, fallen unter den Begriff "Attribut".viii Dabei ist mehrerlei zu beachten:
 

  1. Attribute können selbst Modelle sein. Unsere Wahrnehmung z. B. schreibt dem Wahrgenommenen Gegenständlichkeit mit gewissen Qualitäten zu.ix Aber auch unsere Vorstellung kann, etwa im Zuge einer Idealisierung, bestimmte Attributionen konstruieren.x
  2. Zahlen traten bisher lediglich als entweder den jeweiligen Typ der Attributionierung/Modellierung bezeichnend aufxi oder als Indizes zu Symbolen, um ökonomisch Zeichen der gleichen Kategorie zu differenzieren.xii
  3. Als "Kategorie" seien pragmatologische Grundbegriffe wie "Attribut", "Original", "Modell", "Theorie" bezeichnet. (Die Liste ist unvollständig.)xiii Manche Kategorien können auch unter dem Aspekt einer anderen gesehen werden.xiv
  4. Modellierung hat eine holistische Tendenz. Selbst wenn wir Attribute von Attributen und daher Attribute von schon Modelliertem repräsentieren, kann das entstehende Modell als ein Ganzes genommen werden.
  5. So wie Modelle stets nur Modelle von etwas sein können, gehören Attribute stets einer (möglicherweise modellierten) Entität zu. Attribute existieren nicht per se.

III.


Wenn wir die Fragestellung, ob Zahlen Attribute seien, ins Auge fassen und (vorläufig) bejahen, dann müßten Zahlen Attribute von etwas sein (sec. e.).xv Aber das mittels Zahlen Gezählte hat nicht Zahlen als Attribute oder Eigenschaften, sondern wird in Bezug auf die Reihe der natürlichen Zahlen gebracht und sohin äquivalent zu dieser gezählt.xvi

Daher zählen die Zahlen, die als Typ oder Index auftreten (cf. sup. b.), Entitäten unserer Vorstellung (deren Menge bilden wir sec. sup. a. et d.), die, zu einer Menge zusammengefaßt, zur Menge der natürlichen Zahlen gleichmächtig ist. Es ist absurd, Zahlen als Attribute aufzufassen; gezählte Entitäten haben nicht notwendiger Weise (mindestens) ein Attribut gemeinsam, sondern werden als zählbar modelliert.xvii

Wollen wir also Zahlen unter pragmatologischer Kategorizität auffassen (sec. sup. c.), dann können sie nicht so ohne weiteres unter dem Aspekt jeder anderen Kategorie begriffen werden.xviiiZahlen sind keine Attribute. Attributivität ist von Zahlen nicht prädikabel. Dieser Essay läuft (u. a.) darauf hinaus, Zahlen als eigene Kategorie zu betrachten, die lediglich auf Modellierbares Anwendung findet.xix

Doch können Zahlen etwas sein (cf. sup. e.), von dem Modelle gebildet werden, d. h. Zahlen sind genuine Originale; Zahlen können modelliert werden, so wie alles andere auch, das in unserem Geiste vorkommt oder unserem Geiste auffindbar ist. D. h., unter der Auffassung der Modellierbarkeit von Zahlen kommen Zahlen selbst Attribute zu.xx Modellierung von Zahlen ist unter pragmatologischer Perspektive das, was z. B. der zahlentheoretische Zweig der Mathematik und die Arithmetik vollzieht.xxi
 

Literatur:


Kreisel, Georg; Krivine, Jean-Louis (1966, 1972): Modelltheorie. Eine Einführung in die mathematische Logik und Grundlagentheorie / Eléments de logique mathématique. Paris: Dunod / Berlin: Springer

Stachowiak, Herbert (1973): Allgemeine Modelltheorie. Wien: Springer

Stachowiak, Herbert (Hrg.) (1989a): Pragmatik. Handbuch pragmatischen Denkens. Band III Allgemeine philosophische Pragmatik. Hamburg: Meiner

Stachowiak, Herbert (1989b): "Theorie und Metatheorie des Gesellschaftlichen und das pragmatische Desiderat". In: Stachowiak 1989a: 315-342

Thiel, Christian (1995): Philosophie und Mathematik. Eine Einführung in ihre Wechselwirkungen und in die Philosophie der Mathematik. Darmstadt: Wissenschaftliche Buchgesellschaft

Waismann, Friedrich (1936, 1947, 1996): Einführung in das mathematische Denken. Die Begriffsbildung der modernen Mathematik. Wien: Gerold; Darmstadt: Wiss. Buchges.

Whitehead, Alfred North; Russell, Bertrand (1984 [1910ff.]): Principia Mathematica. Vorwort und Einleitungen. Mit einem Beitrag von Kurt Gödel. Wien: Medusa



i Cf. z. B. Kreisel & Krivine 1972. (back)-


ii Cf. Stachowiak 1989b. (back)-


iii Wenn Ai, Bi, Ci, Attribute signifizieren, sei O = {A1, B5, C9, D4} und M = {A1, C3, D2, E2}. Dabei wird man Sorten von Attributen unterscheiden und bestimmte Arten von Eigenschaften und Qualitäten, Formen von Relationen, etc., aber auch Farben jeweils einer solchen Sorte Ai, Bi, Ci, Di, Ei zuordnen. (back)-


iv Die präterierten Attribute ergeben sich also aus der Klassensubtraktion O \ OP. (back)-


v Die abundanten Attribute ergeben sich demnach aus der Klassensubtraktion M \ ME und seien auch als MA bezeichnet. MAME = M. Sec. nota iii:
F(A1OP) = A1ME (O und M können Attribute gemein haben); F(C9OP) = C3ME; F( D4OP) =  D2ME. Das Attribut B5O wird präteriert, also B5(O \ OP), und das Attribut E2M ist abundant, ergo E2MA: ~x(x = F(B5)) und ~y(F(E2) = y). (back)-


vi Eine Theorie ist eine fünfstellige Relation Th = <O, M, k, t, Z>, wobei "k" den die Attributionierung umsetzenden Operator bezeichnet, der zum Zeitpunkt t unter Maßgabe der Interessenlage Z (also von Zielvorgaben u. dgl.) das Original in das Modell überführt.
"Theorie" im pragmatologischen Verständnis ist eine Operation, die von semiotischen Subjekten vollzogen wird (und nicht bloß eine Ansammlung von strukturierten Sätzen bzw. ein interpretierter Kalkül wie in der formal-semantischen Auffassung). (back)-


vii Hierbei kann das "Original" selbst bereits modelliert sein (wir sprechen daher auch vom "relativen Original"). O kann also auch für ein Modell M bzw. eine Theorie Th stehen, und ein solches O zu modellieren, führt dann zu Modellen höherer Ordnung (cf. inf. nota xi). (back)-


viii D. h., Relationen von Eigenschaften von Entitäten oder Qualitäten von Relationen von Individuen oder Eigenschaften von Eigenschaften sind auch Attribute, desgleichen Relationen dritter Ordnung von Relationen zweiter Ordnung von Eigenschaften von Individuen, etc. Cf. Stachowiak 1973: 134. (back)-


ix Perzeption hat also einen (pragmatologisch) modellierenden Charakter! Vorstellung ebenso. (back)-


x Etwa daß geometrische Objekte eine begrenzte Anzahl von Dimensionen haben, Punkte ohne Ausdehnung sind, etc. (back)-


xi Gemäß der logischen Typentheorie von Whitehead & Russell 1910ff. "Typen" werden aufsteigend (oder absteigend) gezählt, und da sie eine hierarchische Ordnung darstellen, kann man von einer Entität mit Typ n auch einfach sagen, sie sei von n-ter Ordnung. So ist z. B. ein Modell einer Theorie ein Modell n-ter Ordnung (i. e. MnTh), sofern die Theorie Th ein Original (n-2)-ter Ordnung (On-2) in einem Modell (n-1)-ter Ordnung (Mn-1) modellierte.
Alles inf. als "Kategorie" Bezeichnete kann in verschiedenen Typen auftreten; Typen sind keine pragmatologischen Kategorien (sonst gäbe es Typen von Typen). Es gibt natürlich Theorien höheren Typs (die Allgemeine Modelltheorie wäre soetwas), d. h., obige Formel "MnTh" müßte korrekt "MnThn-1" lauten, wobei gilt: Thn-1 = <Thn-2, Mn-1, k, t, Z> und Thn-2 ist hier das relative Original On-2. (back)-


xii Die Ausdrücke "Index" und "Symbol" sind hier jetzt nicht im eminent semiotischen Verständnis (nach Charles S. Peirce) zu nehmen.
Achtung aber bei Symbolen der gleichen Kategorie mit verschiedenem Typ: X310X410; denn das Attribut X310 ist dritter Ordnung, doch X410 vierter. Daß die Indizes ident sind, ist Zufall. (back)-


xiii Es gibt auch Termini, die Konzepte in grundlegender Funktion bezeichnen, welche außerhalb der rein pragmatologischen Zugangsweise liegen und unter Allgemeine Semiotik (z. B. "Zeichen"), Mathematik (wie "Klasse", "Funktion") bzw. Logik (z. B. "Typ", "Prädikat", "Variable", "Quantor") fallen (wobei "Prädikat" in pragmatologischer Hinsicht zum "prädikativen Attribut" wird, indes ein "attributives Prädikat" zur Linguistik gehört). (back)-


xiv Z. B. können Originale einer Modellierung selbst Modelle sein; Theorien könnten Attribute sein. (back)-


xv Dann wären Zahlen übrigens Attribut von allem, was modellierbar ist; dem Unendlichen müßte dann auch "Zahl" (oder gar: "eine Zahl") zukommen. Das ist ebenfalls absurd. (back)-


xvi Dabei erweist sich keineswegs alles als abzählbar (cf. inf. nota xxi). (back)-


xvii Im Rahmen einer zu einer Theorie gehörigen Operation. Zählbarkeit ist also Attribut von Modellierendem, Zählen selbst bedarf modellierender Akte. (back)-


xviii Auch wenn Zahlen logischen Typen repräsentieren können, werden aus Typen nicht Kategorien. (back)-


xix Typen sind (für die Allgemeine Modelltheorie) nicht modellierbar. Sie haben keine (pragmatologisch repräsentierbaren) Attribute. Sie sind weder Originale noch Modelle. (back)-


xx Diese Attribute sind (auch) prädikative Attribute, d. h. wir können Sätze über Zahlen bilden. (Attribute kommen natürlich auch Zahlzeichen    wie allen Zeichen überhaupt    zu.) (back)-


xxi Etwa in den berühmten mathematischen Beweisen nach dem Mengentheoretiker Georg Cantor ("Diagonalbeweise"), welche die Prädikation von Abzählbarkeit bzw. Überabzählbarkeit über die Zahlenmengen der natürlichen Zahlen, der rationalen Zahlen und der reellen Zahlen betreffen (in der Standardinterpretation). Cf. dazu z. B. Waismann 1947, Thiel 1995. (back)-



last update by G.G. on 15th April 2002

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